Eratóstenes~

Después de haber leído el capítulo de Eratóstenes y haber medido dos palos y sus respectivas sonbras en Alcobendas (Madrid) y La Manga (Murcia), nuestro objetivo es calcular el ángulo que proyecta la sombra que hemos obtenido en la ciudad que hemos elegido, La Manga.

BIOGRAFÍA

Eratóstenes nació en el 273 a.C, en la ciudad de Cirene, capital de la Cirenaica, una región mediterránea del Este de Libia, y murió en Alejandría en el año 194 a.C.

Se educó en Atenas y vivió en esta ciudad hasta que Tolomeo Evergetes le encargó la dirección de la Biblioteca de Alejandría. Su misión era la de conocer el contenido de los miles de papiros que se guardaban en la famosa biblioteca.

A diferencia de otros científicos de su tiempo, Eratóstenes no se especializó, sino que se dedicó a las Matemáticas, la Astronomía, la Filosofía, la Geografía, la Música y la Poesía. Sin embargo, además del cálculo del tamaño de la Tierra, con la que hoy trabajamos, Eratóstenes halló con bastante aproximación, ya que sus medios eran escasos, la inclinación de la eclíptica respecto al ecuador, inventó la esfera armillar o armilar y, como matemático, ideó la criba de Eratóstenes, que es un procedimiento para encontrar los números primos que hay por debajo de cierto número.

Pero, ¿cómo midió la circunferencia terrestre por primera vez?. ¿En qué se basó para hacer la medida del radio de la esfera terrestre?

Eratóstenes pensó que dos estacas clavadas verticalmente en el suelo, a una distancia de varios kilómetros, sobre un mismo meridiano, darían sombras distintas a una misma hora.

Los ángulos que forman los rayos de sol con la dirección de la estaca son:
Siendo s y s’ la sombra de cada estaca sobre la línea meridiana en cada lugar. La longitud de la estaca es d en ambos casos.
Si observamos ahora la figura 2 y nos fijamos en el triángulo que se forma, con ángulos a, a1 y 180-a2, donde a es el ángulo del arco de meridiano comprendido entre las posiciones que ocupan ambas estacas, y a1 y a2 son los ángulos que forman los rayos solares con la dirección de las estacas, vemos que, al sumar 180º los tres ángulos del triángulo es:
a1 + 180 - a2 + a = 180, es decir: a1 – a2 + a = 0, o sea: a = a2 – a1
Figura 2
Conocido el ángulo a, y la longitud L del arco de meridiano entre ambos puntos de colocación de las estacas, será posible, mediante una sencilla regla de tres, encontrar la longitud total, X, de la circunferencia del planeta:

PASOS Y EXPERIENCIA

1. Para realizar este trabajo, medimos un palo de 1,65 m y su respectiva sombra a las 16:30 PM en el Colegio. Esta medida no nos valió porque necesitabamos una diferencia de 2 días con la medida en La Manga.

2. Repetimos la medida una semana más tarde con el mismo palo y ésta vez la sombra midió 3,85m.

3. Ya teníamos las medidas en Madrid, nos quedaba desplazarnos 496 km rumbo La Manga y repetir la experiencia en la playa.

4. El último paso ha sido juntarnos en Tres Cantos para realizar este trabajo.

CÁLCULOS

Perímetro de la Tierra: 39992 km

Distancia entre ciudades: 496 km

Coordenadas de La Manga: 37º 46' 0,2'' N, 0º 45' 23'' O

Coordenadas de Alcobendas: 3º 36' 40''

Para calcular alfa necesitábamos el perímetro de la Tierra, que es 39932 km, sus 360º y la distancia entre Madrid y La Manga, que es 496 km. Con estos tres datos hemos hecho una regla de tres:

alfa - 496 k

360º - 39932 km

Calculamos que alfa mide 4,47º.

*Madrid

tg. alfa= 3,85 m, que es la sombra proyectada del palo / 1,65m, que es la medida del palo =2,3.

arc. tg (alfa 1)= 66,8º

Para calcular alfa 2 utilizamos la siguiente fórmula:

alfa 1 + alfa+ 180º - alfa 2 = 180º

Se despeja, por lo que

alfa 2=alfa1 + alfa

alfa 2=4,47º + 66,8º

alfa2=71,7º

*La Manga

tg alfa = 53 cm, que es la sombra proyectada / 61 cm, que es la medida del palo= 0,86

arc. tg=40,98º, que es alfa1

Para calcular alfa2 utilizamos la misma fórmula

alfa2=alfa+alfa1

alfa2=4,47+40,98

alfa 2=45,45º

VALORACIÓN

Además de hacer una valoración individual del capítulo, queremos hacer una en grupo del trabajo en general. Aunque hemos tenido muchos problemas para hacer este trabajo, desde la medida del palo en La Manga hasta los problemas con la descarga de Google Earth, nos ha servido para aprender física y, ante todo, a trabajar en grupo.